이전 포스팅에서는 선형대수에서 쓰이는 기본 개념들과 벡터에 대해서 배웠습니다.
이번 포스팅에서는 벡터의 기본 연산에 대해서 다루겠습니다.
벡터의 덧셈
벡터의 덧셈은 전체적으로 어디에서 시작해서 어디로 끝나는지를 나타냅니다.
즉, 시작점하고 도착점이 중요하다는 이야기입니다.
예를 들어 보겠습니다. 위의 그림을 보시죠.
점 A에서 점 B로 이동하고, 점 B에서 점 C로 이동한것과 점A에서 점 C로 바로 간것이 같을까요?
거리로 보면 전자가 더 길겠죠. 하지만 벡터의 개념에서 보면 이는 맞습니다! 출발지와 목적지가 모두 A와 C로 동일하기 때문이죠.
(AB) + (BC) = (AC) 혹은 a + b = c로 나타낼 수 있고, 이를 성분으로 나타내면 c = a + b = (x1 + x2, y1 + y2) = (x3, y3)라고 할 수 있습니다.
벡터의 뺄셈
덧셈과 같은 의미를 가집니다. 위의 그림을 다시한번 보면서 수식을 변형시켜볼까요?
벡터의 덧셈에서 우리는 c = a + b 라는 수식을 얻게 되었죠. 여기서 조금만 변형을 해볼까요? b = c - a가 됩니다.
즉, (BC) = (AC) - (AB) 라는 뜻입니다.
이를 성분으로 표현해 봅시다.
b = c - a = (x3 - x1, y3 - y1) = (x2, y2)라고 할 수 있습니다. 생각보다 쉽죠?
벡터의 스칼라 배
벡터의 스칼래 배는 우리가 기존에 알던 곱셈과 같습니다.
스칼라는 방향성이 없는 하나의 숫자라고 했었죠?
스칼라와 벡터를 곱하면 어떻게 될까요?
위의 예시를 한번 봅시다. 위의 그림에서 A벡터는 크기가 a입니다. 여기에 스칼라 k를 곱하면 B벡터와 같이 벡터의 크기가 변합니다.
벡터에 스칼라를 곱하면 벡터의 방향은 바뀌지 않고 크기만 변합니다. 스칼라는 방향이 없기 때문이죠.
이를 성분으로 표기하면 A = (x1, y1)라면 B = (kx1, ky1)로 표현할 수 있습니다.
벡터의 크기
벡터의 크기는 좌표 평면 위에서 각 좌표점의 거리를 구하는 방법과 동일합니다.
위의 OA 벡터를 한번 볼까요? OA 벡터는 성분이 (x1, y1)인 벡터입니다. OA의 길이는 피타고라스의 정리에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$ \bar{OA}^2 = a_1^2 + a_2^2 $$
$$ \mid \bar{OA} \mid = \sqrt{a_1^2+a_2^2} $$
그렇다면 혹시 두 벡터간의 거리도 구할 수 있을까요?
물론 가능합니다! 벡터 간의 거리는 기존 거리 공식과 동일합니다.
a = (a1, a2), b = (b1, b2)벡터가 있다면, 두 벡터 사이의 거리 d는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.
$$ d = \mid a - b \mid = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2} $$
