백터의 내적은 무엇일까요?
앞의 포스팅에서 벡터가 물리학적, 수학적, 컴퓨터 과학적 관점 이렇게 3개로 정의됐었죠.
벡터의 내적도 물리학적, 수학적의미를 가집니다.
백터의 내적을 보는 관점
(1) 물리학적 관점
물리학적 관점에서 보는 벡터의 내적은 "2개의 작용하는 힘이 있을 때, 이 두 개의 힘이 서로 협력할 경우 얼마나 일의 양이 커지는지"입니다.
(2) 수학적 관점
벡터간의 곱이라고 할 수 있습니다.
자 그럼 그림으로 한번 살펴보겠습니다.
초기 서로 다른 두 벡터 OA, OB가 있다고 합시다. 이 벡터의 크기는 각각 a, b입니다.
물리학적 관점으로 보면 두 벡터가 "서로 협력하는 경우 얼마나 큰 일의 양이 되는지"입니다. 따라서 두 벡터가 협력할 수 있도록 두 벡터의 방향을 같게 해주어야 합니다.
따라서 OA를 OB벡터 위로 정사영 시켜줍니다. 따라서 a'크기를 가진 새로운 벡터가 되겠죠.
a'는 삼각 함수에 의해 a*cosθ가 됩니다.
두 힘이 함께 작용하는 최종 힘은 a'*b 즉, a*b*cosθ가 됩니다.
이것이 바로 내적의 식입니다.
※ 왜 두 힘을 곱하나요? 더하는건 안되나요?
"위의 식을 보시면 제가 너무 당연하게 곱해야합니다." 라고 이야기했는데요.
곱해야 하는 이유를 설명드리겠습니다.
앞서 설명했던 내적의 물리학적 의미를 다시 되짚어 볼까요?
"2개의 작용하는 힘이 있을 때, 이 두 개의 힘이 서로 협력할 경우 얼마나 일의 양이 커지는지"를 알아내는 것이 바로 내적이라고 했습니다.
물리학에서는 일을 정의할때 아래와 같은 수식을 사용합니다.
$$ W = \vec{F}*\vec{S}$$
여기서 W는 일의 양을 뜻하고, F는 가해진 힘, S는 변위(목표하는 방향)를 뜻합니다.
=> 따라서 내적은 두 벡터의 곱을 이용하여 구합니다.
한가지 예를 들어봅시다.
위와 같은 나무 토막을 F의 힘으로 S만큼 옮겼을 때 일의 양은 F*S입니다.
힘의 방향과 이동 방향이 일치하기 때문에 일은 최대치이죠!!
=> "F만큼 작용한 힘을 S방향으로 100% 소모 되었다. " 라고 할 수 있습니다.
이번에는 θ만큼의 각도를 두고 F만큼 힘을 줘보겠습니다.
여기서 S방향만큼 작용 되는 힘은 삼각함수에 의해 F*cosθ가 됩니다.
따라서 일의 양은 F*cosθ*S입니다.
=> "F*cosθ만큼 작용한 힘을 S방향으로 소모했다."라고 할 수 있습니다.
cosθ 함수는 90o가 0이기 때문에 변위와 수직이게 힘을 준다면 W는 0이 됩니다. 즉, 일을 아예 하지 않은 것입니다.
반면 180o는 1이기 때문에 변위와 수평이게 힘을 준다면 W는 위의 변위로 가장 최대치의 힘을 받게 됩니다.
내적 증명
위에서는 내적을 크기로만 곱해서 구했습니다.
각 벡터의 성분으로도 내적을 구할 수 있는데요. 벡터의 성분들을 곱해준 뒤에 모두 더해주면 됩니다.
이 부분을 한번 증명해 보도록 하죠!
위와 같이 벡터가 있다고 가정합시다.
제 2 코싸인 법칙에 의해 아래의 식을 얻을 수 있습니다.
$$ \lVert x \rVert ^2 = \lVert v \rVert ^2 + \lVert w \rVert ^2 - 2*\lVert v \rVert * \lVert w \rVert * \cos\Theta$$
여기서! 우리는 벡터 성질에 의해 w = v + x, x = w-v 인 것을 알 수 있습니다.
한 번 대입해 봅시다.
$$ \lVert v \rVert * \lVert w \rVert * \cos\Theta = \frac{1}{2}(\lVert v \rVert ^2 + \lVert w \rVert ^2 - \lVert w - v \rVert ^2)$$
각 벡터의 성분으로 대입을 해봅시다.
$$ \frac{1}{2}((v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2) + (w_1^2 + w_2^2 + \cdots + w_n^2) - ((w_1 - v_1)^2 + (w_2 - v_2)^2 + \cdots + (w_n - v_n)^2 ))$$
위의 식을 계산해 보면 제곱수들은 모두 사라지겠죠?
$$ \frac{1}{2}(2(w_1v_1+w_2v_2+\cdots+w_nv_n)) $$
$$ w_1v_1+w_2v_2+\cdots+w_nv_n $$
$$ \therefore \lVert v \rVert * \lVert w \rVert * \cos\Theta=w_1v_1+w_2v_2+\cdots+w_nv_n $$
내적 공식
$$ v\cdot w=\lVert v \rVert * \lVert w \rVert * \cos\Theta = a*c+b*d$$
내적의 성질
내적은 교환 법칙이 성립합니다.
$$ w\cdot v = v\cdot w $$
영벡터와 내적하면 당연하지만, 0이 됩니다.
$$ \vec{0}\cdot v = v\cdot \vec{0} = 0 $$
분배의 법칙도 성립합니다.
$$ u\cdot (v+w) = (v+w)\cdot u = u\cdot v + u\cdot w $$
상수와 곱할 경우에도 모든 법칙이 성립합니다.
$$ k*(v\cdot w) = (k*v)\cdot w = (k*w)\cdot v $$
