이번에는 벡터의 외적에 대해서 알아보겠습니다.
벡터의 내적 같은 경우 "두 벡터가 협력했을 때 가질 수 있는 총 일의 양"이기 때문에 결과가 벡터가 아닌 스칼라로 표현되었죠!
하지만 외적은 연산 결과로 벡터가 나옵니다.
벡터의 외적
벡터의 외적은 두 벡터에 동시에 수직이고, 크기는 두 벡터의 평행사변형의 면적 R3상의 벡터입니다.(가위곱이라고도 불립니다.)
위의 그림처럼 A, B 두 벡터가 있다고 가정합시다. 이 두벡터의 외적은 C 또는 C'가 됩니다.
그리고 위의 수식에서 || 표기는 절댓값이 아닌 행렬식 표기입니다.
따라서 각 x, y, z에 해당하는 벡터 성분은 위의 행렬의 행렬식으로 표기됩니다.
그렇다면 어떻게 저런 행렬들이 만들어질까요?
먼저 a, b벡터를 순서대로 행렬로 만들어줍니다. 그러면 2x3행렬이 만들어지겠죠?
첫 번째 인자는 이 만들어진 행렬의 첫번째 열을 가린 나머지 성분들입니다. 두 번째, 세 번째도 마찬가지로 두 번째, 세 번째 열을 가려주시면 됩니다.
그렇다면 벡터의 방향은 어떻게 구할까요?
바로바로 오른손 법칙을 떠올리시면 됩니다.
위의 그림과 같이 엄지를 제외한 다른 손가락이 가리키는 방향으로 곱할시 다음과 같이 엄지 방향의 법선 벡터를 얻을 수 있습니다.
외적의 성질
외적은 교환법칙이 성립하지 않습니다. 단, -를 붙여서 방향만 바꿔주면 같은 벡터가 됩니다.
$$ u\times v = -(v\times u) $$
분배의 법칙이 성립합니다.
$$ u\times (v+w) = (u\times v) + (u\times w) $$
$$ (u+v)\times w = (u\times w) + (v\times w) $$
상수(스칼라)와 곱할 경우 분배, 교환 법칙이 모두 성립합니다.
$$ k(u\times v) = (ku)\times v = u\times (kv)$$
영백터와 곱할 경우 영백터가 됩니다.
$$ u\times \vec{0} = \vec{0}\times u = \vec{0} $$
자기 자신을 외적할 경우 영벡터가 됩니다.
$$ u\times u = \vec{0} $$
